Fonctions exponentielles

(cf propriété 5) e^{5x-1}\geqslant e^{2x+1} est équivalent à :

5x-1\geqslant 2x+1;

5x-2x\geqslant 1+1;

3x\geqslant 2;

x\geqslant \dfrac{2}{3}

La fonction est de la forme (uv)=u'v+uv'. Avec u(x)=2x+1, u^\prime (x)=2 et v(x)=e^{-2x}, v^\prime (x)=-2e^{-2x}. Par conséquent :

f^\prime (x)=2e^{-2x}+(2x+1)(-2e^{-2x}) On a 2e^{-2x} comme facteur commun.

f^\prime (x)=2e^{-2x}(1-(2x+1)) ;

f^\prime (x)=2e^{-2x}(1-2x-1) ;

f^\prime (x)=2e^{-2x}(-2x) ;

f^\prime (x)=-4xe^{-2x}

(cf propriété 4) \dfrac{(e^{2}\times e^{-3})^4}{e^7}=\dfrac{(e^{2-3})^4}{e^7}=\dfrac{(e^{-1})^4}{e^7}=\dfrac{e^{-1\times 4}}{e^7}=\dfrac{e^{-4}}{e^7}=e^{-4}\times e^{-7}=e^{-4-7}=e^{-11}

Car f est de la forme e^u qui a pour fonction dérivée u'e^u, u(x)=2x^2+x et u^\prime(x)=4x+1 (cf propriété 6)

Pour tout x\in\mathbb{R}, e^{7x+8}>0. Par conséquent le signe de f^\prime dépend de l'expression 2x+5. Or 2x+5\leqslant 0 sur ]-\infty;-\dfrac{5}{2}] et 2x+5\geqslant 0 sur [-\dfrac{5}{2};+\infty[.

On regarde le signe de f^{\prime\prime}. Pour tout x\in\mathbb{R}, l'expression e^{x-2}>0. Par conséquent le signe f^{\prime\prime} dépend du signe de -8x+4. -8x+4=0; -8x=-4; x=\dfrac{-4}{-8}=0,5, donc f admet un point d'inflexion de coordonnées (0,5;f(0,5)). -8x+4\geqslant 0 sur ]-\infty;0,5], donc convexe sur cet intervalle et -8x+4\leqslant 0 sur [0,5;+\infty[, donc concave sur cet intervalle.

(cf propriété 5) e^{2x+1}=e^{8x-4} est équivalent à résoudre 2x+1=8x-4 ;

2x-8x=-4-1 ;

-6x=-5 ;

x=\dfrac{-5}{-6}=\dfrac{5}{6}