Probabilité à densité

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Départ

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Question 1

Soit

X

une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur

[7;12]

. Déterminer la probabilité que

P(8\leqslant X \leqslant 10)

A	$\dfrac{1}{12}$
B	$\dfrac{1}{5}$
C	$\dfrac{2}{5}$
D	$\dfrac{2}{12}$

Explication pour la question 1:

P(8\leqslant X\leqslant 10)=P(X\leqslant 10)-P(X\leqslant 8)

(cf propriété 1.1)

=\dfrac{10-7}{12-7}-\dfrac{8-7}{12-7}

(cf propriété 3.1)

=\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{2}{5}

Question 2

Le temps passé par un client, en minute, dans un supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire

X

suivant la loi normale d’espérance

\mu = 45

et d’écart-type

\sigma = 12

. Déterminer la valeur de

a

, arrondie à l’unité, telle que

P(X \leqslant a) = 0,30

A	$a \approx -30,51$
B	$a \approx 120,4$
C	$a \approx -11,59$
D	$a \approx 38,7$

Explication pour la question 2:

On utilise la calculatrice

InvNormCD(0.3,45,12)

Ainsi,

a \approx 38,7

Question 3

Le temps passé par un client, en minute, dans un supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire

X

suivant la loi normale d’espérance

\mu = 45

et d’écart-type

\sigma = 12

. Déterminer

P(X = 10)

(avec solution justifiée).

A	$P(X = 10)=0$
B	$P(X = 10)=0,7$
C	$P(X = 10)=1$
D	$P(X = 10)=0,5$

Explication pour la question 3:

P(X = 10)=0

, car une probabilité à densité se calcule à l'aide d'intégrale. Comme l'intégrale mesure l'aire sous une courbe sur un intervalle, on remarque que l'on ne peut construire aucune aire pour un seul point abscisse. (cf propriété 1.5)

Question 4

Le temps passé par un client, en minute, dans un supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire

X

suivant la loi normale d’espérance

\mu = 45

et d’écart-type

\sigma = 12

. Déterminer

P(X \geqslant 45)

(avec solution justifiée).

A	$P(X \geqslant 45)\approx 0,375$
B	$P(X \geqslant 45)=0,2$
C	$P(X \geqslant 45)=0,25$
D	$P(X \geqslant 45)=0,5$

Explication pour la question 4:

Comme

\mu = 45

, cela implique que

P(X \leqslant 45)=0,5

et comme la courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation

x=45

, alors

P(X \geqslant 45)=0,5

Sans justification à la calculatrice, utiliser

NormCD(45,10^{99},12,45)

Question 5

Le gérant du magasin décide de mettre à disposition des clients des caisses automatiques, de façon à réduire le temps d’attente pour les clients ayant un panier contenant peu d’articles. Le temps d’attente, exprimé en minute, à chacune de ces caisses automatiques est modélisé par une variable aléatoire

X

qui suit la loi normale de moyenne 5 et d’écart type 1,5. Calculer la probabilité que le temps d’attente à une caisse automatique soit compris entre 0,75 minute et 6 minutes.

A	$P(0,75 \leqslant X \leqslant 6)\approx 0,642$
B	$P(0,75 \leqslant X \leqslant 6)\approx 0,745$
C	$P(0,75 \leqslant X \leqslant 6)\approx 0,376$
D	$P(0,75 \leqslant X \leqslant 6)\approx 0,391$

Explication pour la question 5:

On calcule

P(0,75 \leqslant X \leqslant 6)

. A la calculatrice on utilise

NormCD(0.75,6,1.5,5)

. Ainsi

P(0,75 \leqslant X \leqslant 6)\approx 0,745

Question 6

Un supermarché dispose de plusieurs caisses. Un client qui se présente à une caisse doit attendre un certain temps avant d’être pris en charge par le caissier. On considère que ce temps d’attente exprimé en minute, par une variable aléatoire

X

qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [0; 12].

Quel est le temps moyen d’attente à une caisse?

A	4 minutes
B	5 minutes
C	8 minutes
D	6 minutes

Explication pour la question 6:

On calcule l'espérance, comme

X

suit une loi uniforme, on a

E(X)=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{0+12}{2}=6

. (cf propriété 3.2)

Question 7

X

qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [0; 12].

Quelle est la probabilité qu’un client attende au moins 5 minutes avant d’être pris en charge?

A	$\dfrac{3}{12}$
B	$\dfrac{9}{12}$
C	$\dfrac{5}{12}$
D	$\dfrac{7}{12}$

Explication pour la question 7:

Attendre au moins 5 minutes, c'est attendre 5 minutes ou plus. On cherche donc à calculer

P(X\geqslant 5)

P(X\geqslant 5)=1-P(X\leqslant 5)

1-\dfrac{5-0}{12-0}

(cf propriété 3.1)

1-\dfrac{5}{12}=\dfrac{7}{12}

Question 8

Le temps passé par un client, en minute, dans un supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire

X

suivant la loi normale d’espérance

\mu = 45

et d’écart-type

\sigma = 12

. Déterminer

P(21 \leqslant X \leqslant 69)

(avec solution justifiée).

A	$P(21 \leqslant X \leqslant 69)\approx 0,955$
B	$P(21 \leqslant X \leqslant 69)=0,5$
C	$P(21 \leqslant X \leqslant 69)\approx 0,997$
D	$P(21 \leqslant X \leqslant 69)\approx 0,683$

Explication pour la question 8:

On remarque que :

\mu-2 \sigma=45-2\times12=45-24=21

\mu+2 \sigma=45+2\times12=45+24=69

P(\mu-2 \sigma \leqslant X \leqslant \mu+2 \sigma) \approx 0,955

(cf propriété 8.2)

Par conséquent,

P(21 \leqslant X \leqslant 69)\approx 0,955

Sans justification à la calculatrice, utiliser

NormCD(21,69,12,45)

Question 9

Le temps passé par un client, en minute, dans un supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire

X

suivant la loi normale d’espérance

\mu = 45

et d’écart-type

\sigma = 12

. Calculer

P_{X\geqslant 30}(X\leqslant 60)

A	$P_{X\geqslant 30}(X\leqslant 60)\approx 0,122$
B	$P_{X\geqslant 30}(X\leqslant 60)\approx 0,228$
C	$P_{X\geqslant 30}(X\leqslant 60)\approx 0,568$
D	$P_{X\geqslant 30}(X\leqslant 60)\approx 0,882$

Explication pour la question 9:

P_{X\geqslant 30}(X\leqslant 60)=\dfrac{P(30\leqslant X\leqslant 60)}{P(X\geqslant 30)}=\dfrac{P(30\leqslant X\leqslant 60)}{1-P(X\leqslant 30)}

Que l'on traduit à la calculatrice par :

\dfrac{NormCD(30,60,12,45)}{1-NormCD(-10^{99},30,12,45)}

\dfrac{NormCD(30,60,12,45)}{NormCD(30,10^{99},12,45)}

Ainsi :

P_{X\geqslant 30}(X\leqslant 60)\approx 0,882

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