Convexité / continuité

Convexité / Continuité

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Question 1

Ci dessus

\mathscr{C}_f

(la courbe représentée en rouge ) et sa tangente

\Delta

passant par le point

A

(représentée en noir). L'équation de cette tangente est égale à :

A	$\Delta : y= \dfrac{1}{2}x+1$
B	$\Delta : y= 2x+1$
C	$\Delta : y= -2x+1$
D	$\Delta : y= -\dfrac{1}{2}x+1$

Explication pour la question 1:

Une droite a une équation de la forme

y=mx+p

. L'ordonnée à l'origine de la droite vaut

p=1

. On considère le point

A

et le point

B(-0,5;0)

appartenant à la droite.

m=\dfrac{y_A-y_B}{x_A-x_B}=\dfrac{1-0}{0-(-0,5)}=2

Donc

\Delta : y= 2x+1

Question 2

Ci contre la courbe

\mathscr{C}_f

représentation graphique de la fonction

f

définie sur

]1,8;18,2[

, ainsi que ses deux tangentes aux points F et G (points d'abscisses respectives 7,09 et 13,25).

Parmi ces affirmations une seule est vraie

A	$f$ admet 1 point d'inflexion.
B	$f$ n'admet pas de point d'inflexion.
C	$f$ admet 3 points d'inflexions.
D	$f$ admet 2 points d'inflexions.

Explication pour la question 2:

Il n'y a que deux tangentes qui traversent la courbe. Donc

f

admet 2 points d'inflexions. (cf définition 3)

Question 3

On considère le tableau de signes suivant

On en déduit que :

A	$f$ est concave sur $]-\infty;5]$ , convexe sur $[5;+\infty[$ et admet un point d'inflexion au point $(5,f(5))$ .
B	$f^\prime$ est concave sur $]-\infty;5]$ , convexe sur $[5;+\infty[$ et admet un point d'inflexion au point $(5,f^\prime(5))$ .
C	$f$ est convexe sur $]-\infty;5]$ , concave sur $[5;+\infty[$ et admet un point d'inflexion au point $(5,f(5))$ .
D	$f^\prime$ est convexe sur $]-\infty;5]$ , concave sur $[5;+\infty[$ et admet un point d'inflexion au point $(5,f^\prime(5))$ .

Explication pour la question 3:

cf propriété 4 et 5

Question 4

La courbe ci-dessus représente la fonction

f^{\prime\prime}

définie sur

]0;10]

. Parmis ces affirmations une seule est vraie.

A	$f$ est convexe sur $]0;1,5]\cup[8,6;10]$ , concave sur $[1,5;8,6]$
B	$f$ est concave sur $]0;1,5]\cup[8,6;10]$ , convexe sur $[1,5;8,6]$
C	$f$ est concave sur $]0;0,5]\cup[5,3;10]$ , convexe sur $[0,5;5,3]$
D	$f$ est convexe sur $]0;0,5]\cup[5,3;10]$ , concave sur $[0,5;5,3]$

Explication pour la question 4:

car

f^{\prime\prime} (x)\leqslant 0

sur

]0;1,5]\cup[8,6;10]

f^{\prime\prime}(x)\geqslant 0

[1,5;8,6]

(cf prorpiété 5)

Question 5

On considère le tableau de signes suivant

On en déduit que :

A	$f$ est croissante sur $]-\infty;5]$ et décroissante sur $[5;+\infty[$
B	$f^\prime$ est croissante sur $]-\infty;5]$ et décroissante sur $[5;+\infty[$
C	$f^\prime$ est décroissante sur $]-\infty;5]$ et croissante sur $[5;+\infty[$
D	$f$ est décroissante sur $]-\infty;5]$ et croissante sur $[5;+\infty[$

Explication pour la question 5:

Du signe de la dérivée on peut en déduire les variations de la fonction.

f''

est la fonction dérivée de

f'

. (cf Théorème 2)

Question 6

La courbe ci-dessus représente la fonction

f

. Parmis ces affirmations une seule est vraie.

A	$f^\prime(x)=0$ admet 1 solution.
B	$f^\prime(x)=0$ admet 2 solutions.
C	$f^\prime(x)=0$ admet 3 solutions.

Explication pour la question 6:

f

admet deux tangentes horizontales donc

f^\prime (x)=0

admet 2 solutions.

Question 7

On considère

f

une fonction définie sur

\mathbb{R}

telle que

f(x)=x^2-5x+6

. Alors l'équation de sa tangente au point abscisse

-1

est égale à :

A	$y=12x+12$
B	$y=-7x+5$
C	$y=19x+12$
D	$y=-7x+19$

Explication pour la question 7:

(cf propriété 2)

f'(a)(x-a)+f(a)

, ici

a=-1

f'(x)=2x-5

. Donc

f'(-1)(x-(-1))+f(-1)=(2\times(-1)-5)(x+1)+12=-7x+5

Question 8

Déterminer le tableau de signe la fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=2x^2-10x+12

A
B
C
D

Explication pour la question 8:

On utilise le discriminant pour trouver les racines et on applique la règle des signes pour une fonction polynomiale du second degré.

Question 9

La courbe ci-dessus représente la fonction

f^\prime

définie sur

]0;10]

. Parmis ces affirmations une seule est vraie.

A	$f$ est concave sur $]0;0,5]\cup[5,3;10]$ , convexe sur $[0,5;5,3]$
B	$f$ est convexe sur $]0;1,5]\cup[8,6;10]$ , concave sur $[1,5;8,6]$
C	$f$ est concave sur $]0;1,5]\cup[8,6;10]$ , convexe sur $[1,5;8,6]$
D	$f$ est convexe sur $]0;0,5]\cup[5,3;10]$ , concave sur $[0,5;5,3]$

Explication pour la question 9:

car

f^\prime (x)

est décroissante sur

]0;0,5]\cup[5,3;10]

, et

f^\prime (x)

est croissante sur

[0,5;5,3]

(cf propriété 3)

Question 10

On considère le tableau de variation suivant :

On en déduit que :

A	La fonction $f$ est concave sur $[0;1]$ car $f'(x)\geqslant$ sur $[0;1]$
B	On ne peut rien en déduire
C	La fonction $f$ est convexe sur $[0;\dfrac{\pi}{2}]$ et concave sur $[\dfrac{\pi}{2};1]$ . Elle admet aussi un point d'inflexion de coordonnées $(\dfrac{\pi}{2};f(1))$
D	La fonction $f$ est concave sur $[0;\dfrac{\pi}{2}]$ et convexe sur $[\dfrac{\pi}{2};1]$ . Elle admet aussi un point d'inflexion de coordonnées $(\dfrac{\pi}{2};f(1))$

Explication pour la question 10:

(cf propriété 3)

Question 11

Ci contre la courbe

\mathscr{C}_f

représentation graphique de la fonction

f

définie sur

]1,8;18,2[

, ainsi que ses deux tangentes aux points F et G (points d'abscisses respectives 7,09 et 13,25).

Parmi ces affirmations une seule est vraie

A	$f$ est convexe sur $]1,8;7,09]\cup[13,25;18,2[$ et convexe sur $[7,09;18,2]$
B	$f$ est concave sur $]1,8;4,9]\cup[10;15,5[$ et convexe sur $[4,9;10]\cup[15,5;18,2[$
C	$f$ est convexe sur $]1,8;4,9]\cup[10;15,5[$ et concave sur $[4,9;10]\cup[15,5;18,2[$
D	$f$ est concave sur $]1,8;7,09]\cup[13,25;18,2[$ et convexe sur $[7,09;18,2]$

Explication pour la question 11:

Il faut regarder la position des tangentes par rapport à la courbe. (cf définition 2)

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