Fonction logarithme néperien

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Question 1

Soit

(u_n)

une suite de la forme

u_{n}=300\times 0,5^n +200

. Déterminer (par calcul) le plus petit entier

n

telle que

u_n\leqslant 210

A	5
B	3
C	4
D	6

Explication pour la question 1:

u_n\leqslant 210

300\times 0,5^n +200\leqslant 210

300\times 0,5^n \leqslant 210-200

300\times 0,5^n \leqslant 10

0,5^n \leqslant \dfrac{10}{300}

0,5^n \leqslant \dfrac{1}{30}

ln(0,5^n) \leqslant ln(\dfrac{1}{30})

nln(0,5) \leqslant ln(\dfrac{1}{30})

(cf propriété 4)

n\geqslant\dfrac{ln(\dfrac{1}{30})}{ln(0,5)}

(on a change le signe de l'inégalité car ln(0,5)<0)

\dfrac{ln(\dfrac{1}{30})}{ln(0,5)}\approx 4,9

, par conséquent le plus petit entier

n

telle que

u_n\leqslant 210

est

n=5

Question 2

Résoudre

x^{12}=7

A	$x=\dfrac{ln(7)}{12}$
B	$x=\dfrac{ln(7)}{12}$
C	$x=e^{\dfrac{ln(7)}{12}}$
D	$x=e^{\dfrac{ln(12)}{7}}$

Explication pour la question 2:

(cf propriété 6, pour y répondre directement sinon 🙂

x^{12}=7

ln(x^{12})=ln(7)

12ln(x)=ln(7)

(cf propriété 4)

ln(x)=\dfrac{ln(7)}{12}

e^{ln(x)}=e^{\dfrac{ln(7)}{12}}

x=e^{\dfrac{ln(7)}{12}}

(cf propriété 2.3)

Question 3

Résoudre

2^x=4

A	$ln(2)$
B	$e^2$
C	$\dfrac{e^2}{ln(2)}$
D	$2$

Explication pour la question 3:

2^x=4

ln(2^x)=ln(4)

xln(2)=ln(4)

, (cf propriété 4)

x=\dfrac{ln(4)}{ln(2)}=\dfrac{ln(2^2)}{ln(2)}=\dfrac{2ln(2)}{ln(2)}=2

Question 4

Résoudre

ln(2x+3)=ln(7x-1)

A	$x=\dfrac{5}{7}$
B	$x=\dfrac{2}{3}$
C	$x=\dfrac{2}{5}$
D	$x=\dfrac{4}{5}$

Explication pour la question 4:

ln(2x+3)=ln(7x-1)

est équivalent à résoudre

2x+3=7x-1

2x-7x=-1-3

-5x=-4

x=\dfrac{-4}{-5}

x=\dfrac{4}{5}

Question 5

Résoudre

ln(-2x-3)=ln(7x-1)

A	Cette équation n'admet pas de solution
B	$x=\dfrac{7}{3}$
C	$x=-\dfrac{2}{9}$
D	$x=2$

Explication pour la question 5:

ln(-2x-3)=ln(7x-1)

est équivalent à résoudre

-2x-3=7x-1

-2x-7x=-1+3

-9x=2

x=-\dfrac{2}{9}

ln(-\dfrac{2}{9})

n'existe pas. La fonction

ln(x)

est définie pour tout

x\in\mathbb{R}^+

. Comme cette solution n'est pas positive, l'équation n'admet pas de solution.

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