Intégrales

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Départ

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Question 1

La fonction représentée par le courbe en bleu est .... de la fonction représentée par la courbe en verte.

A	rien du tout
B	la dérivée seconde
C	la primitive
D	la dérivée

Explication pour la question 1:

On remarque que la fonction représentée par la courbe en vert est convexe sur

]-\infty;-2[\cup]12;+\infty[

, alors que la fonction représentée en bleu est strictement positive sur

]-\infty;-2[\cup]12;+\infty[

La fonction représentée par la courbe en vert est concave sur

]-2;12[

, alors que la fonction représentée en bleu est strictement négative sur

]-2;12[

On en déduit donc que la fonction en bleu représente la dérivée seconde de la fonction représenté en vert.

Question 2

Ci-dessus la courbe représentative de la fonction

f

. Déterminer l'encadrement entre deux entiers consécutifs de

\displaystyle\int_{2}^{4} f(x) \: dx

A	$2\leqslant \displaystyle\int_{2}^{4} f(x) \: dx \leqslant 3$
B	$3\leqslant \displaystyle\int_{2}^{4} f(x) \: dx \leqslant 4$
C	$1\leqslant \displaystyle\int_{2}^{4} f(x) \: dx \leqslant 2$
D	$0\leqslant \displaystyle\int_{2}^{4} f(x) \: dx \leqslant 1$

Explication pour la question 2:

Approximation possible avec l'aide de trapèzes.

Question 3

Déterminer les primitives de la fonction

f(x)=x^4+\dfrac{2}{3}x^3-2x

A	$F(x)=\dfrac{1}{4}x^5+\dfrac{2}{9}x^4-2x^2+c$ , avec $c\in\mathbb{R}$
B	$F(x)=\dfrac{1}{5}x^5+\dfrac{1}{6}x^4-x^2+c$ , avec $c\in\mathbb{R}$
C	$F(x)=4x^3+2x^2-2$ , avec $c\in\mathbb{R}$
D	$F(x)=x^3+x^2-2$ , avec $c\in\mathbb{R}$

Explication pour la question 3:

\displaystyle\int x^4 \: dx=\dfrac{x^5}{5}+c

c\in\mathbb{R}

\displaystyle\int \dfrac{2}{3}x^3 \: dx= \dfrac{2}{3}\displaystyle\int x^3 \: dx=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{x^4}{4}+c=\dfrac{2}{12}x^4+c=\dfrac{1}{6}x^4 +c

c\in\mathbb{R}

\displaystyle\int 2x \: dx= 2 \displaystyle\int x \: dx=2\times\dfrac{x^2}{2}+c=x^2+c

c\in\mathbb{R}

Par conséquent

F(x)=\dfrac{1}{5}x^5+\dfrac{1}{6}x^4-x^2+c

c\in\mathbb{R}

Question 4

La fonction représentée par le courbe en mauve est .... de la fonction représentée par la courbe en verte.

A	la primitive
B	la dérivée seconde
C	la dérivée
D	est rien du tout

Explication pour la question 4:

La fonction représentée par la courbe en vert est strictement positive sur

]-\infty;-2[\cup ]2,5;12[\cup ]16,5; +\infty[

tandis que la fonction représentée par la courbe en mauve est strictement croissante sur

]-\infty;-2[\cup ]2,5;12[\cup ]16,5; +\infty[

La fonction représentée par la courbe en vert est strictement négative sur

]-2;2,5[\cup ]12;16,5[

tandis que la fonction représentée par la courbe en mauve est strictement décroissante sur

]-2;2,5[\cup ]12;16,5[

Par conséquent la courbe en vert représente la fonction dérivée de la fonction représentée par la courbe en mauve.

On en déduit donc que la courbe en mauve représente la fonction primitive de la fonction représentée par la courbe en vert.

Question 5

Soient

f

une fonction positive et continue sur

\mathbb{R}

telle que

\displaystyle\int_{1}^{4} f(x) \: dx= 70 \: u.a.

g

la fonction définie et qui admet des primitives sur

\mathbb{R}

telle que

g(x)=x^3

. Sachant que pour tout

x\in[1;4]

f(x)>g(x)

, déterminer l'aire entre la courbe représentative de la fonction

f

et la courbe représentative de la fonction

g

A	$\displaystyle\int_{1}^{4} f(x)-g(x) \: dx = 15 \: u.a.$
B	$\displaystyle\int_{1}^{4} f(x)-g(x) \: dx = 2,75 \: u.a.$
C	$\displaystyle\int_{1}^{4} f(x)-g(x) \: dx = 6,25 \: u.a.$
D	$\displaystyle\int_{1}^{4} f(x)-g(x) \: dx = 10 \: u.a.$

Explication pour la question 5:

On calcule au préalable

\displaystyle\int_{1}^{4} g(x) \: dx = [\dfrac{x^4}{4}]_1^{4}= \dfrac{4^4}{4}-\dfrac{1}{4}= \dfrac{256}{4}-\dfrac{1}{4}=63,75 \: u.a.

\displaystyle\int_{1}^{4} f(x)-g(x) \: dx =\displaystyle\int_{1}^{4} f(x)-\displaystyle\int_{1}^{4} g(x) = 70- 63,75=6,25 \: u.a.

Question 6

Déterminer l'aire sous la courbe de la fonction

f

(en u.a.) fonction continue et qui admet des primitives sur

\mathbb{R}^*

telle que

f(x)=2x^3+5x-\dfrac{1}{x}

sur l’intervalle

[1;5]

est égale à :

A	$\displaystyle\int_{1}^{5} f(x) \: dx =27 \: u.a.$
B	$\displaystyle\int_{1}^{5} f(x) \: dx =370,4 \: u.a.$
C	$\displaystyle\int_{1}^{5} f(x) \: dx =372-ln(5) \: u.a.$
D	$\displaystyle\int_{1}^{5} f(x) \: dx = 372-e^5 \: u.a.$

Explication pour la question 6:

Soit

F

une primitive de

f

. On détermine que :

\displaystyle\int 2x^3 \: dx = 2\dfrac{x^4}{4}+c=\dfrac{1}{2}x^4+c

c\in\mathbb{R}

\displaystyle\int 5x \: dx = 5\dfrac{x^2}{2}+c=\dfrac{5}{2}x^2+c

c\in\mathbb{R}

\displaystyle\int \dfrac{1}{x} \: dx =ln(x)+c

c\in\mathbb{R}

F(x)=\dfrac{1}{2}x^4+\dfrac{5}{2}x^2-ln(x)

\displaystyle\int_{1}^{5} f(x) \: dx = F(5)-F(1)=\dfrac{1}{2}\times 5^4+\dfrac{5}{2}\times 5^2-ln(5)-(\dfrac{1}{2}\times 1^4+\dfrac{5}{2}\times 1^2-ln(1))=372-ln(5)+ln(1)=372-ln(5) \approx 370,4

Question 7

La fonction représentée par le courbe en rouge est .... de la fonction représentée par la courbe en verte.

A	la primitive
B	la dérivée seconde
C	rien du tout
D	la dérivée

Explication pour la question 7:

La fonction représentée par la courbe en rouge est strictement positive sur

]0;6,8[\cup ]14,5; +\infty[

tandis que la fonction représentée par la courbe en vert est strictement croissante sur

]0;6,8[\cup ]14,5; +\infty[

La fonction représentée par la courbe en rouge est strictement négative sur

]-\infty;0[\cup ]6,8;14,5[

tandis que la fonction représentée par la courbe en mauve est strictement décroissante sur

]-\infty;0[\cup ]6,8;14,5[

On en déduit donc que la courbe en rouge représente la fonction dérivée de la fonction représentée par la courbe en vert.

Question 8

Soit

f

une fonction telle que

\int_{2}^{7} f(x) \: dx = 50

. Alors la valeur moyenne de la fonction

f

sur

[2;7]

est égale à :

A	50
B	10
C	18
D	7

Explication pour la question 8:

(cf définition 3)

m=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x) \: dx=\dfrac{1}{7-2}\int_{2}^{7} f(x) \: dx = \dfrac{1}{5}\times 50=10

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